Kutoka kwa sine ya angle ni sawa na cosine ya angle sawa

Kutokana na kazi ya trigonometri rahisi y = Sin (x), inatofautiana katika kila sehemu zake kutoka kwa uwanja wote wa ufafanuzi. Ni muhimu kuthibitisha kuwa msingi wa hoja ya hoja yoyote ni sawa na cosine ya angle sawa, yaani, y '= Cos (x).

Uthibitisho unategemea ufafanuzi wa matokeo ya kazi

Tunafafanua x (kiholela) katika sehemu ndogo ndogo Δx ya uhakika fulani x0. Hebu tuonyeshe umuhimu wa kazi ndani yake na kwa uhakika x ili kupata umuhimu wa kazi iliyotolewa. Ikiwa Δx ni nyongeza ya hoja, basi hoja mpya ni x ₀ + Δx = x, thamani ya kazi hii kwa thamani iliyotolewa ya hoja y (x) ni Sin (x ₀ + Δx), thamani ya kazi katika hatua fulani y (x ₀ ) .

Sasa tuna Ada = Dhambi (x ₀ + Δx) -Si (x ₀ ) ni ongezeko la kazi iliyopatikana.

Kwa formula ya sine ya jumla ya pembe mbili zisizo sawa, tutabadilisha tofauti Δy.

(Cos) = Cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Dhambi (Δx) chini Sin (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Sini (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Tenda (Δx).

Ilifanya idhini ya masharti, iliyoshirikisha kwanza na Sini ya tatu (x ₀ ), imechukua mchanganyiko wa kawaida - kwa mabakoti. Tulipata katika maneno hayo tofauti ya Cos (Δx) -1. Inabakia kubadili ishara mbele ya bunduki na kwa mabano. Kujua ambayo ni 1-Cos (Δx), tunafanya kubadilisha na kupata kujieleza rahisi, Δy, ambayo sisi kisha kugawa na Δx.
Δy / Δx itakuwa na fomu: Cos (x ₀ ) · Sini (Δx) / Δx-2 · Sini ² (0.5 · Δx) · Sini (x ₀ ) / Δx. Huu ni uwiano wa ongezeko la kazi kwa kuongeza kwa kuruhusiwa kwa hoja.

Inabakia kupata kikomo cha uwiano wa lim iliyopatikana kwa Δx inayotaka sifuri.

Inajulikana kuwa dhambi ya kikomo (Δx) / Δx ni sawa na 1, chini ya hali hii. Ufafanuzi 2 · Sini ² (0,5 · Δx) / Δx katika quotient inayotokana imepungua kwa bidhaa iliyo na kikomo cha kwanza cha ajabu kama kuongezeka: kugawanya namba na denominator ya sehemu na 2, kuchukua nafasi ya mraba wa sine kwa bidhaa. Hapa hivi:
(Sini (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Sini (Δx / 2).
Kikomo cha maneno haya kwa Δx yanayotafuta sifuri ni sawa na sifuri (1 imeongezwa na 0). Inabadilika kuwa kikomo cha uwiano Δy / Δx ni Cos (x ₀ ) · 1-0, hii ni Cos (x ₀ ), maneno ambayo hayategemei na Δx yanayotafuta 0. Hii inasababisha hitimisho la kwamba sine derivative ya angle yoyote x ni Cosine x, tunaandika kama y '= Cos (x).

Fomu inayosababisha imeingia kwenye meza inayojulikana ya derivatives, ambapo kazi zote za msingi

Wakati wa kutatua matatizo ambako inayotokana na sinus hutokea, mtu anaweza kutumia sheria za kutofautisha na formula zilizopangwa tayari kutoka meza. Kwa mfano: tafuta derivative ya kazi rahisi y = 3 · Sin (x) -15. Tunatumia sheria za msingi za kutofautisha, kuondolewa kwa sababu ya namba nyuma ya ishara ya derivative, na hesabu ya derivative ya idadi ya mara kwa mara (ni sifuri). Tunatumia thamani iliyopangwa ya derivative ya sine ya angle x, sawa na Cos (x). Tunapata jibu: y '= 3 · Cos (x) -O. Hii ya derivative, kwa upande mwingine, pia ni kazi ya msingi y = 3 · Cos (x).

Kutoka kwa sine ni squared kutoka hoja yoyote

Wakati wa kuhesabu neno hili (Sin ² (x)) ', ni muhimu kumbuka jinsi kazi ngumu imefafanuliwa. Kwa hivyo, y = dhambi ² (x) - ni kazi ya nguvu, kwani sine ni squared. Majadiliano yake pia ni kazi ya trigonometric, Hoja ngumu. Matokeo katika kesi hii ni sawa na bidhaa ambayo sababu yake ya kwanza ni inayotokana na mraba wa hoja iliyotolewa, na pili ni derivative ya sine. Hii ni jinsi utawala wa kutofautisha kazi ya kazi inaonekana kama: (u (v (x)) 'ni sawa na (u (v (x)))' (v (x)) '. Maneno ya v (x) ni hoja ngumu (kazi ya ndani). Ikiwa kazi "igrok ni sawa na sine katika mraba x" inatolewa, basi derivative ya kazi hii tata ni y '= 2 · Sini (x) · Cos (x). Katika bidhaa, kuongezeka kwa mara mbili mara mbili ni matokeo ya kazi inayojulikana ya nguvu, na Cos (x) ni derivative ya sine, hoja ya kazi tata ya quadratic. Matokeo ya mwisho yanaweza kubadilishwa kwa kutumia fomu ya trigonometric ya pembe mbili. Jibu: derivative ni Sin (2 · x). Fomu hii inakumbuka kwa urahisi, mara nyingi hutumiwa kama tabular.