Algebra ya Boolean. Algebra ya mantiki. Elements ya mantiki ya hekima

Katika ulimwengu wa kisasa, tunazidi kutumia mitambo na gadgets mbalimbali. Na si tu wakati ni muhimu kuomba nguvu halisi ya kimwili: hoja mzigo, kuinua hadi urefu, kuchimba mfereji mrefu na kirefu, nk Magari leo kukusanya robots, chakula ni tayari na multivarques, na mahesabu ya msingi mahesabu ni kufanywa na calculators. Kwa kuongezeka, tunasikia maneno "Algebra ya Boolean." Pengine ni wakati wa kuelewa jukumu la mwanadamu katika kuundwa kwa robots na uwezo wa mashine kutatua si tu hisabati, lakini pia kazi mantiki.

Logic

Ilitafsiriwa kutoka kwa Kigiriki, mantiki ni mfumo ulioamuru wa kufikiri unaojenga uhusiano kati ya hali zilizopewa na inakuwezesha kufanya maamuzi kulingana na mawazo na mawazo. Mara nyingi tunauliana: "Je, ni busara?" Jibu la jibu la majibu yetu hujibu majibu yetu au inakosoa mawazo yetu. Lakini mchakato hauacha: tunaendelea kufikiri.

Wakati mwingine idadi ya masharti (utangulizi) ni kubwa sana, na uhusiano kati yao ni ngumu na ngumu kwamba ubongo wa binadamu hauwezi "kuchimba" kila kitu mara moja. Inaweza kuchukua zaidi ya mwezi (wiki, mwaka) kuelewa kinachotokea. Lakini maisha ya kisasa haina kutupa vipindi vile wakati kwa maamuzi. Na sisi hutafuta msaada wa kompyuta. Na hii ndio ambapo algebra ya mantiki inaonekana, pamoja na sheria na mali zake. Baada ya kupakua data yote ya awali, tunaruhusu kompyuta kutambua mahusiano yote, kuondokana na utata na kupata suluhisho la kuridhisha.

Hisabati na Logic

Gottfried maarufu Wilhelm Leibniz aliunda dhana ya "mantiki ya hisabati", ambayo kazi zake ziliweza kupatikana tu kwa mduara nyembamba wa wanasayansi. Maslahi maalum katika mwelekeo huu haukusababisha, na hadi katikati ya karne ya XIX wachache walijua kuhusu mantiki ya hisabati.

Maslahi makubwa katika jumuiya za sayansi ilifufuliwa na mgogoro ambao Kiingereza George Buhl alitangaza nia yake ya kuunda sehemu ya hisabati ambayo hakuwa na matumizi ya vitendo kabisa. Kama tunakumbuka kutokana na historia, wakati huo uzalishaji wa viwandani uliendelezwa kikamilifu, aina zote za mashine za usaidizi na mashine zilifanywa, yaani, uvumbuzi wote wa sayansi uli na mwelekeo wa vitendo.

Kuangalia mbele, tunasema kwamba algebra ya Boolean ni sehemu ya kutumika zaidi ya hisabati katika ulimwengu wa kisasa. Hivyo mgogoro ulipoteza Boule yake.

George Boule

Ubunifu wa mwandishi unastahiki tahadhari maalum. Hata kuzingatia ukweli kwamba watu wa zamani walikua zaidi kuliko sisi, bado tunaweza kushindwa kutambua kwamba wakati wa umri wa miaka 16, G.Boole alifundishwa katika shule ya kijiji, na akiwa na umri wa miaka 20 alifungua shule yake mwenyewe huko Lincoln. Mwana wa hisabati alifafanua lugha tano za nje za kigeni, na wakati wake wa kujifurahisha alisoma kazi ya Newton na Lagrange. Na hii yote ni kuhusu mwana wa mfanyakazi rahisi!

Mwaka wa 1839, Boule kwanza alipeleka karatasi zake za kisayansi kwenye Cambridge Mathematical Journal. Mwanasayansi alikuwa na umri wa miaka 24. Kazi ya Boole ili washiriki wenye nia ya Shirika la Sayansi ya Royal kwamba mwaka 1844 alipata medali kwa mchango wake katika maendeleo ya uchambuzi wa hisabati. Kazi nyingine zilizochapishwa, ambazo vipengele vya mantiki ya hesabu zilielezewa, zimewezesha mwanasayansi mdogo kuchukua nafasi ya profesa katika Chuo cha Cork County. Kumbuka kuwa elimu ya Boole haikuwa.

Njia

Kwa kweli, algebra ya Boolean ni rahisi sana. Kuna maelezo ( maneno mantiki ), ambayo, kwa masharti ya hisabati, yanaweza kuelezwa tu kwa maneno mawili: "ukweli" au "uongo." Kwa mfano, katika spring miti bloom - ukweli, katika majira ya joto ni snows - uongo. Nzuri zote za hisabati hii ni kwamba hakuna haja kali ya kutumia namba tu. Mapendekezo yoyote yenye maana isiyo na maana yanafaa kabisa kwa algebra ya mapendekezo.

Hivyo, algebra ya mantiki inaweza kutumika halisi kila mahali: katika ratiba na maelekezo ya kuandika, kuchambua habari zinazopingana kuhusu matukio na kuamua mlolongo wa vitendo. Jambo muhimu zaidi ni kuelewa kwamba haijalishi jinsi tunavyoamua ukweli au uovu wa taarifa. Kutoka kwa haya "jinsi" na "kwa nini" inapaswa kuwa wazi. Maana ni maneno tu ya ukweli: kweli-uongo.

Bila shaka, kazi za algebra ya mantiki ni muhimu kwa programu, ambazo zimeandikwa na ishara sahihi na alama. Na kujifunza ina maana ya kutawala lugha mpya ya kigeni. Hakuna kitu kinachowezekana.

Dhana za msingi na ufafanuzi

Bila kuingia ndani ya kina, tutaelewa istilahi. Kwa hiyo, algebra ya Boolean inadhani uwepo wa:

• Taarifa;
• Shughuli za mantiki;
• Kazi na sheria.

Taarifa ni maneno yoyote ya uthibitisho ambayo hayawezi kufasiriwa mara mbili. Imeandikwa kwa namba (5> 3) au iliyoandaliwa kwa maneno ya kawaida (tembo ni mamalia mkubwa). Wakati huo huo, maneno "twiga haina shingo" pia ina haki ya kuwepo, tu ya algebra ya Boolean itafafanua kama "uongo".

Taarifa zote lazima ziwe wazi, lakini zinaweza kuwa za msingi na za kikundi. Matumizi ya mwisho yanayotokana na mantiki. Hiyo ni, katika taarifa za algebra za kiwanja cha habari zinaundwa kwa kuongeza vipengele vya msingi kupitia shughuli za mantiki.

Uendeshaji wa algebra ya Boolean

Tunakumbuka tayari kwamba shughuli katika algebra ya mapendekezo ni mantiki. Kama vile algebra ya idadi hutumia shughuli za hesabu kuongeza, kuondoa au kulinganisha namba, vipengele vya mantiki ya hisabati vinawezekana kutunga kauli tata, kutoa hasi au kuhesabu matokeo ya mwisho.

Uendeshaji wa mantiki kwa ajili ya kutengeneza na unyenyekevu umeandikwa na kanuni za kimila kwa ajili yetu katika hesabu. Mali ya algebra ya Boolean hufanya iwezekanavyo kuandika usawa na kuhesabu haijulikani. Shughuli za mantiki huandikwa kwa kutumia meza ya kweli. Nguzo zake zinafafanua mambo ya kuhesabu na operesheni inayofanyika juu yao, na mistari inaonyesha matokeo ya mahesabu.

Matendo ya kimantiki ya msingi

Shughuli za kawaida katika algebra ya Boolean ni kupuuzwa (NOT) na NA mantiki na AU. Kwa hivyo unaweza kuelezea karibu vitendo vyote katika algebra ya hukumu. Tutajifunza kwa undani kila moja ya shughuli tatu.

Uovu (si) unatumika tu kwa kipengele kimoja (operesheni). Kwa hiyo, operesheni ya kupuuziwa inaitwa unary. Kuandika wazo la "si A" kutumia alama kama hizo: ¬A, A¯¯¯¯ au! A. Katika fomu ya tabular inaonekana kama hii:

Kwa kazi ya kupuuza, maneno yafuatayo ni ya kawaida: kama A ni ya kweli, basi A ni uongo. Kwa mfano, Mwezi unazunguka Ulimwengu - ukweli; Dunia inazunguka mwezi - uongo.

Kuzidisha mantiki na kuongeza

Akili na inaitwa operesheni ya ushirikiano. Hii inamaanisha nini? Kwanza, kwamba inaweza kutumika kwa operesheni mbili, yaani, mimi ni operesheni ya binary. Pili, kwamba tu katika hali ya kweli ya shughuli mbili (na A, na B) ni maneno yenyewe kweli. Mshauri "uvumilivu na kazi itakuwa peretrut" inadhani kwamba mambo mawili tu yatasaidia mtu kukabiliana na matatizo.

Ishara zinazotumiwa kurekodi: AXTB, A⋅B au A && B.

Mshikamano ni sawa na kuzidisha katika hesabu. Wakati mwingine wanasema kuongezeka kwa mantiki. Ikiwa tunazidisha vipengele vya meza kwa safu, tunapata matokeo sawa na kufikiri mantiki.

Mgawanyiko huitwa operesheni ya OR au mantiki. Inachukua thamani ya kweli wakati angalau moja ya kauli ni kweli (au A, au B). Imeandikwa kama hii: AboxB, A + B au A || B. Taa za kweli kwa shughuli hizi ni:

Mshikamano ni kama kuongeza hesabu. Uendeshaji wa kuongeza mantiki una kizuizi kimoja tu: 1 + 1 = 1. Lakini tunakumbuka kwamba katika mantiki ya muundo wa digiti ya digital ni mdogo kwa 0 na 1 (ambapo 1 ni kweli, 0 ni uongo). Kwa mfano, taarifa "katika makumbusho unaweza kuona kitovu au kukutana na interlocutor ya kuvutia" ina maana kwamba unaweza kuona kazi za sanaa, na unaweza kujua na mtu mwenye kuvutia. Wakati huo huo, sio chaguo la kukamilika kwa wakati mmoja wa matukio yote mawili.

Kazi na sheria

Kwa hiyo, tunajua tayari shughuli za mantiki za algebra za Boolean. Kazi zinaelezea mali zote za vipengele vya mantiki na kukuwezesha kurahisisha hali tata ya kazi. Ya kueleweka zaidi na rahisi ni mali ya kuacha shughuli za derivative. Derivatives ni ya kipekee OR, ushirikiano, na ulinganisho. Tangu tulijitambulisha wenyewe na shughuli za msingi, tutazingatia tu mali zao.

Uhusiano una maana kwamba katika taarifa kama "na A, na B, na B," uandikishaji wa operesheni haujalishi. Fomu hii ni hii:

(A∧B) ∧ B = A∧ (Б∧В) = A∧Б∧,

(AlistB) ∨ B = Alist (Б∨В) = AlistБlist.

Kama tunavyoona, hii ni ya pekee sio tu kwa ushirikiano, bali pia ni mjadala.

Commutativity inasema kuwa matokeo ya mshikamano au mshikamano hautegemea kipengele ambacho kilichukuliwa mwanzoni:

AXTБ = Б∧A; AboxB = BOLDA.

Usambazaji huwawezesha kufungua mahusiano ya wazazi katika maneno mazuri ya mantiki. Sheria hiyo ni sawa na ufunuo wa mabano wakati wa kuzidisha na kuongeza kwa algebra:

Abeli (Б∨) = AXTБ_NAMEApt; AlistB∧B = (AlistB) ∧ (AboxB).

Mali ya kitengo na sifuri ambayo inaweza kuwa moja ya operands pia ni sawa na kuzidi algebraic kwa sifuri au moja na kuongeza moja:

A00 = 0, A∧1 = A; A00 = A, A.11 = 1.

Idempotency inatuambia kwamba ikiwa matokeo ya operesheni yanafanana sawa na kuzingatia vituo viwili vinavyofanana, basi unaweza "kutupa nje" operesheni za ziada ambazo zinathibitisha hoja. Wote mshikamano na mshikamano ni shughuli zisizofaa.

БББ = Б; БББ = Б.

Uzoefu pia unatuwezesha kurahisisha usawa. Uzoefu husema kwamba wakati operesheni na operesheni hiyo hutumiwa kwa maneno na operesheni moja, matokeo yake ni operesheni kutoka kwa operesheni ya kunyonya.

ABBBBB = B; (AlistB) ∧B = B.

Mlolongo wa shughuli

Mlolongo wa shughuli sio umuhimu mdogo. Kweli, kama kwa algebra, kuna kipaumbele cha kazi ambazo hutumia algebra ya Boolean. Aina inaweza kuwa rahisi tu ikiwa umuhimu wa shughuli unafanyika. Kutoka kwa muhimu zaidi kwa madogo, tunapata mlolongo wafuatayo:

1. kukataa.

2. Mshikamano.

3. Mshikamano ukiondoa OR.

4. Sababu, ulinganisho.

Kama tunavyoona, tu kukataa na ushirikiano hawana vipaumbele sawa. Na kipaumbele cha mshikamano na OU ya kipekee ni sawa, pamoja na vipaumbele vya kuhusisha na usawa.

Ushiriki na kazi za kufanana

Kama tulivyosema, pamoja na shughuli za kimantiki za msingi, mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms hutumia derivatives. Matumizi ya kawaida na ulinganisho.

Ushauri, au uzingatiaji wa mantiki, ni taarifa ambayo hatua moja ni hali, na mwingine ni matokeo ya kutimiza kwake. Kwa maneno mengine, hukumu hii na pretexts "kama ... basi." "Unapenda kupanda, upendo na sledge kubeba." Hiyo ni kwa ajili ya skating ni muhimu kuimarisha sleds kwenye slide. Ikiwa hakuna tamaa ya kuondoka mlima, basi huna kubeba sleds. Imeandikwa kama hii: A → B au A⇒B.

Uwiano unaonyesha kwamba hatua inayofanyika hutokea tu wakati waendeshaji wote ni kweli. Kwa mfano, usiku unabadilishwa na siku basi (na kisha tu), wakati jua linatoka kutoka upeo. Katika lugha ya mantiki ya hisabati, kauli hii imeandikwa kama: A≡B, A⇔B, A == B.

Sheria nyingine za algebra ya Boolean

Algebra ya hukumu inakua, na wanasayansi wengi wenye nia wameanzisha sheria mpya. Maarufu zaidi ni postulates ya mtaalamu wa hisabati wa Scottish O. de Morgan. Aliona na akafafanua mali kama uasi wa karibu, kuongeza na kuacha mara mbili.

Kupuuza kwa karibu kunaonyesha kuwa hakuna uharibifu mmoja kabla ya bracket: si (A au B) = si A au NOT B.

Wakati operesheni inakataliwa, bila kujali thamani yake, wanasema juu ya kuongeza :

Б¬¬Б = 0; Б¬¬Б = 1.

Na, hatimaye, kupuuzwa mara mbili hujifungua yenyewe. Mimi. Kabla ya operand, ama uasi hupotea, au moja tu bado.

Jinsi ya kutatua vipimo

Mantiki ya hisabati inaashiria kurahisisha usawa uliopewa. Kama vile katika algebra, ni muhimu kwanza kufanya hali hiyo iwe rahisi iwezekanavyo (kujiondoa utangulizi tata na uendeshaji nao), kisha uendelee kupata jibu sahihi.

Nini kifanyike kwa kurahisisha? Badilisha shughuli zote zilizopatikana kwa vitu rahisi. Kisha ufungue mahusiano yote (au kinyume chake, toa wazazi kufupisha kipengele hiki). Hatua inayofuata ni kutumia mali ya algebra ya Boolean katika mazoezi (kunyonya, mali ya sifuri na vitengo, nk).

Hatimaye, equation lazima iwe na idadi ndogo ya haijulikani, umoja na shughuli rahisi. Ni rahisi kutafuta suluhisho ikiwa unafanikisha idadi kubwa ya kupuuzwa kwa karibu. Kisha jibu litakuja kama kama yenyewe.