Usio na kipimo muhimu. Ukokotoaji wa integrals usiojulikana

Moja ya sehemu muhimu ya uchambuzi wa hisabati ni muhimu calculus. Ni inashughulikia uwanja mpana sana wa vitu, ambapo kwanza - ni usio na kipimo muhimu. Nafasi ilivyo kama muhimu ambayo bado katika shule ya sekondari inaonyesha kuongezeka kwa idadi ya matarajio na fursa, ambayo inaeleza hisabati ya juu.

muonekano

Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kabisa muhimu kwa kisasa, topical, lakini katika mazoezi zinageuka kuwa yeye alikuja nyuma 1800 BC. Nyumbani kwa kuchukuliwa rasmi Misri kama hawakufikia sisi ushahidi awali ya kuwepo kwake. Ni kutokana na ukosefu wa habari, wakati wote nafasi tu kama tukio. Yeye kwa mara nyingine tena inathibitisha kiwango cha maendeleo ya kisayansi ya watu wa nyakati zile. Hatimaye, kazi walikuwa kupatikana kale wanahisabati Kigiriki, yaliyoanza karne ya 4 KK. Wao kueleza mbinu kutumika ambapo kwa muda usiojulikana muhimu, asili ya ambayo ilikuwa kupata kiasi au eneo umbo curvilinear (pande tatu na pande mbili ndege, kwa mtiririko huo). hesabu ilikuwa misingi ya kanuni ya mgawanyo wa takwimu ya awali katika sehemu infinitesimal, mradi kiasi (eneo) tayari anajulikana kwa wao. Baada ya muda, njia imeongezeka, Archimedes kutumika kupata eneo la parabola. Sawa hesabu kwa wakati mmoja kufanya mazoezi katika China ya kale, ambapo walikuwa huru kabisa kutoka Kigiriki sayansi wenzako.

maendeleo

mafanikio ijayo katika XI karne BC imekuwa kazi ya msomi Waarabu "gari" Abu Ali al-Basri, ambaye alisukuma mipaka ya tayari anajulikana, yalitokana na formula muhimu kwa ajili ya kuhesabu kiasi kwa kiasi na shahada ya kwanza na ya nne, ya kuomba hii inajulikana kwetu introduktionsutbildning mbinu.
Mawazo ya leo ni admired na Wamisri wa kale kuundwa makaburi ya ajabu bila zana maalum, ila kwa kuwa mikono yao wenyewe, lakini ni si nguvu kichaa wanasayansi wa wakati hakuna chini miujiza? Ikilinganishwa na nyakati ya sasa ya maisha yao kuonekana karibu kale, lakini uamuzi wa integrals usiojulikana Inatokea kila mahali na kutumika katika mazoezi kwa ajili ya maendeleo zaidi.

hatua ya pili ulifanyika katika karne ya XVI, wakati mwanahisabati Italia Cavalieri kuletwa hazigawanyiki mbinu, ambayo ilichukua Per ferma. Hizi mbili utu kuweka msingi kwa ajili muhimu calculus kisasa, ambayo ni maalumu kwa sasa. Wao amefungwa dhana ya upambanuzi na ushirikiano, ambayo walikuwa awali kuonekana kama vitengo toshelevu. Kwa kiasi kikubwa, hisabati wa wakati huo alikuwa kugawanyika vipande vipande chembe matokeo kuwepo kwa wenyewe, na matumizi kidogo. Njia ya kuunganisha na kupata ardhi ya kawaida na kweli tu kwa sasa, kutokana na yeye, ya kisasa ya uchambuzi wa hisabati na nafasi ya kukua na kustawi.

Baada ya muda mabadiliko kila kitu na alama muhimu pia. Kwa kiasi kikubwa, ilikuwa ni mteule wanasayansi ambao kwa njia yake, kwa mfano, Newton kutumika mraba icon, ambayo kuweka kazi integrable, au tu kuweka pamoja. tofauti hii ilidumu hadi karne ya XVII, wakati wa kihistoria kwa nadharia nzima ya hisabati uchambuzi mwanasayansi Gotfrid Leybnits ilianzisha tabia kama familiar kwetu. Vidogo "S" ni kweli kulingana na barua hii ya alfabeti ya Kirumi, tangu inaashiria Jumla ya primitives. jina la muhimu kupatikana kutokana na Jakob Bernoulli, baada ya miaka 15.

ufafanuzi rasmi

muhimu usiojulikana inategemea ufafanuzi wa kale, hivyo sisi kufikiria ni katika nafasi ya kwanza.

Antiderivative - ni kinyume kazi ya derivative, katika mazoezi inaitwa duni. Vinginevyo: primitive kazi ya d - ni kazi D, ambayo ni derivative v <=> V '= v. Search primitive ni kufanya mahesabu usiojulikana muhimu, na utaratibu yenyewe inaitwa ushirikiano.

mfano:

kazi s (y) = y ^3, na S yake primitive (y) = (y ^4/4).

seti ya primitives wote wa kazi - hii ni milele muhimu, ulionyehsa kama ifuatavyo: ∫v (x) DX.

Kwa nguvu ya ukweli kwamba V (x) - ni baadhi tu ya awali ya kazi ya kale, kujieleza ana: ∫v (x) DX = V (x) + C, ambapo C - mara kwa mara. Chini ya mara kwa mara holela inahusu yoyote ya mara kwa mara, kwa kuwa derivative yake ni sifuri.

mali

mali mwenye usiojulikana muhimu, kimsingi kwa kuzingatia ufafanuzi na tabia za derivatives.
Fikiria mambo muhimu:

• muhimu derivative ya kale ni primitive yenyewe pamoja holela wa mara kwa mara C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C,
• derivative ya muhimu ya kazi ni kazi ya awali <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• mara kwa mara ni kuchukuliwa kutoka chini ya muhimu ishara <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, ambapo k - ni kiholela;
• muhimu, ambayo ni kuchukuliwa kutoka jumla ya identically sawa na jumla ya integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

mali mbili mwisho inaweza kuhitimishwa kuwa muhimu ni za milele mstari. Kutokana na hili, kuna: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Kuona mifano ya fixing ufumbuzi integrals usiojulikana.

Lazima kupata ∫ muhimu (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Kutoka mfano tunaweza kusema kwamba hujui jinsi ya kutatua integrals usio na kipimo? Tu kupata primitives wote! Lakini kutafuta kanuni kujadiliwa hapa chini.

Mbinu na Mifano

Ili kutatua muhimu, unaweza mapumziko kwa njia zifuatazo:

• tayari kuchukua faida ya meza;
• kuunganisha na sehemu;
• jumuishi kwa kuondoa variable,
• jumla yake chini ya ishara ya tofauti.

meza

zaidi rahisi na kufurahisha njia. Kwa sasa, uchambuzi hisabati inaweza kujivunia meza kina kabisa, ambayo yameandikwa nje formula ya msingi ya integrals usiojulikana. Kwa maneno mengine, kuna watu templates inayotokana juu yako na unaweza tu kuchukua faida yao. Hii ni orodha ya nafasi kuu ya meza, ambayo inaweza kuonyeshwa karibu kila mfano, ina ufumbuzi:

• ∫0dy = C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫dy = y + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, ambapo C - mara kwa mara, na n - idadi tofauti na umoja;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ^{∫e y dy = e y + C} , ambapo C - mara kwa mara;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫cosydy = siny + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫sinydy = -cosy + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫chydy = aibu + C, ambapo C - mara kwa mara;
• ∫shydy = chy + C, ambapo C - mara kwa mara.

Kama ni muhimu, kufanya michache ya hatua kusababisha integrand kwa mtazamo tabular na kufurahia ushindi. MFANO: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x dhambi (5x - 2) + C.

Kwa mujibu wa uamuzi ni wazi kwamba kwa mfano meza integrand inakosa multiplier 5. Sisi kuongeza kuwa sambamba na kuzidisha hili kwa 1/5 ya njia ya kawaida hakuna mabadiliko.

Ushirikiano na vya

Fikiria kazi mbili - z (y) na x (y). Lazima kuwa kuendelea differentiable katika uwanja wake. Katika mojawapo ya mali upambanuzi tuna: d (XZ) = xdz + zdx. Kuunganisha pande zote mbili, sisi kupata: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Kuandika equation kusababisha, sisi kupata formula, ambayo inaeleza utaratibu wa ushirikiano na sehemu: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Kwa nini ni muhimu? ukweli kwamba baadhi ya mifano inawezekana kurahisisha, tuseme, ili kupunguza ∫zdx ∫xdz, kama mwisho ni karibu na fomu tabular. Pia, formula hii inaweza kutumika zaidi ya mara moja, kwa ajili ya matokeo bora.

Jinsi ya kutatua usiojulikana integrals njia hii:

• muhimu kwa mahesabu ∫ (s + 1) e ^2S ds

∫ (x + ^{1) e 2S ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = e 2x} ds} = ((watu + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S DX = ((watu + 1) e ^2S) / 2-e ^2S / 4 + C,

• Lazima mahesabu ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS-1) + C.

kuchukua nafasi ya kutofautiana

Kanuni hii ya kutatua integrals usiojulikana si chini katika mahitaji kuliko ya awali mbili, ingawa ngumu. Mbinu ni kama ifuatavyo: Hebu V (x) - muhimu ya baadhi v kazi (x). Iwapo yenyewe muhimu katika Mfano slozhnosochinenny inakuja, kuna uwezekano wa kupata kuchanganyikiwa na kwenda chini vibaya ufumbuzi njia. Ili kuepuka mabadiliko haya mazoezi kutoka x variable kwa z, ambapo njia ya kawaida kuibua kilichorahisishwa na kudumisha z kulingana na x.

Kwa upande wa hisabati, hii ni kama ifuatavyo: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), ambapo x = y ( z) - badala. Na, kwa hakika, kinyume kazi z = y ^-1 (x) kikamilifu inaeleza uhusiano na uhusiano ya variables. Tanbihi - tofauti DX lazima kubadilishwa na mpya tofauti dz, kwa kuwa mabadiliko ya kutofautiana katika muhimu usiojulikana inahusisha kuondoa kila mahali, si tu katika integrand.

mfano:

• Lazima kupata ∫ (s + 1) / (s ² + 2S - 5) ds

Weka badala z = (s + 1) / (s ² + 2S-5). Kisha dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Kwa sababu hiyo, kujieleza zifuatazo, ambayo ni rahisi sana kufanya mahesabu:

∫ (s + 1) / (s ² + 2S-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2S-5 | + C,

• lazima kupata muhimu ∫2 ^s e ^s DX

Ili kutatua kuandika upya katika fomu ifuatayo:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Sisi kuashiria na = 2e (badala ya hoja hatua hii si, bado ni s), sisi kutoa yetu inaonekana ngumu muhimu kwa msingi tabular aina:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + Lne) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Jumla yake tofauti ishara

Kwa kiasi kikubwa, njia hii ya integrals isiyo sawa - pacha wa kanuni ya mabadiliko ya kutofautiana, lakini kuna tofauti katika mchakato wa usajili. Hebu fikiria kwa undani zaidi.

Kama ∫v (x) DX = V (x) + C na y = z (x), kisha ∫v (y) dy = V (y) + C.

Wakati huo huo ni lazima kusahau madogo mabadiliko muhimu, kati ya ambayo:

• DX = d (x + a), na ambayo - kila mara kwa mara;
• DX = (1 / a) d (Shoka + b), ambapo - mara kwa mara nyingine tena, lakini si zero;
• Xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Kama tunaona kesi ya jumla ambapo sisi mahesabu usiojulikana muhimu, mifano yanaweza kujumlishwa chini ya formula ujumla w '(x) DX = dw (x).

mifano:

• Lazima kupata ∫ (2S + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2S + 3)

∫ (2S + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2S + 3) ² d (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) ² + C,

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

online msaada

Wakati mwingine, makosa ambayo inaweza kuwa au uvivu, au haja ya haraka, unaweza kutumia papo online, au tuseme, kutumia Calculator integrals usiojulikana. Pamoja na utata dhahiri na utata asili ya integrals, uamuzi ni chini ya algorithm yao maalum, ambayo ni misingi ya kanuni ya "kama si ... kisha ...".

Bila shaka, mifano hasa nje ya hiyo calculator si bwana, kama kuna matukio ambapo uamuzi ina kupata bandia "kulazimishwa" kwa kuanzisha mambo fulani katika mchakato, kwa sababu ya matokeo ya wazi ya njia za kufikia. Pamoja na asili ya utata wa taarifa hii, ni kweli, kama hesabu, katika kanuni, sayansi ya kufikirika, na lengo lake la msingi inazingatia umuhimu wa kuwawezesha mipaka. Hakika, kwa laini kuelekea katika nadharia ni vigumu sana kwa hoja juu na kufuka, kwa hivyo kudhani kwamba mifano ya kutatua integrals usiojulikana, aliyetupa - hii ni urefu wa fursa. Lakini nyuma ya upande wa kiufundi wa mambo. Angalau kuangalia hesabu, unaweza kutumia huduma ambayo iliandikwa kwetu. Kama kuna haja ya hesabu moja kwa moja ya maneno magumu, basi huna kuamua programu kubwa zaidi. Lazima makini hasa katika mazingira MATLAB.

maombi

uamuzi wa integrals usiojulikana katika mtazamo wa kwanza inaonekana kabisa detached kutoka hali halisi, kwa sababu ni vigumu kuona matumizi ya wazi ya ndege. Kwa kweli, moja kwa moja matumizi yao mahali popote huwezi, lakini ni muhimu kati ya kipengele katika mchakato wa kuondolewa kwa ufumbuzi kutumika katika mazoezi. Hivyo, muungano wa upambanuzi nyuma, hivyo kushiriki kikamilifu katika mchakato wa kutatua equations.
Kwa upande wake, equations haya kuwa na athari ya moja kwa moja juu ya uamuzi wa matatizo mitambo, trajectory hesabu na conductivity mafuta - katika muda mfupi, kila kitu ni sehemu ya sasa na ya kuchagiza ya baadaye. Usio na kipimo muhimu, mifano ambayo tumezungumzia hapo juu, madogo tu katika mtazamo wa kwanza, kama msingi ya kufanya zaidi na zaidi uvumbuzi mpya.