Russell Paradoksia: taarifa za msingi, mifano, uundaji

Russell Kitendawili ni mbili kutegemeana mantiki antinomy.

aina mbili ya PARADOX Russell

zaidi ya mara kwa mara kujadili namna ya utata katika seti mantiki. Baadhi ya seti inaonekana kuwa wanachama wenyewe, na wengine - hakuna. seti ya seti zote yenyewe kuweka, hivyo inaonekana kwamba inahusu yenyewe. Null au tupu, hata hivyo, lazima kuwa mwanachama wa yenyewe. Kwa hiyo, seti ya seti zote, kama zero si ni pamoja na katika yenyewe. PARADOX hutokea wakati swali la kama seti ya mwanachama wa yenyewe. Hii inawezekana kama na kama tu siyo.

Mwingine aina Kitendawili ni utata kuhusu mali. Baadhi mali, inaonekana rejea wenyewe, wakati wengine sio. mali kuwa mali yenyewe ni mali, wakati mali kuwa ni paka siyo. Fikiria mali ya kuwa na mali ambayo haina mali yake. kama inatumika kwa yenyewe? Kwa mara nyingine tena, yoyote ya mawazo lazima kinyume. PARADOX ilikuwa jina kwa heshima ya Bertrand Russell (1872-1970), ambaye aligundua katika 1901.

hadithi

Ufunguzi Russell imetokea wakati kazi yake juu ya "Kanuni za Hisabati". Ingawa aligundua PARADOX kwa kujitegemea, kuna ushahidi kwamba wanahisabati nyingine na watengenezaji wa nadharia ya kuweka, ikiwa ni pamoja Ernst Zermelo na David Hilbert, walifahamu toleo la kwanza la utata mbele yake. Russell, hata hivyo, alikuwa wa kwanza ambaye kujadiliwa kwa undani PARADOX katika kazi yake iliyochapishwa, kwanza alijaribu kuunda ufumbuzi na wa kwanza kikamilifu kufahamu umuhimu wake. Sura nzima ya "Kanuni za" ilikuwa kujitoa kwa majadiliano ya suala hili, na matumizi alikuwa kujitoa kwa nadharia ya aina, ambayo Russell mapendekezo kama ufumbuzi.

Russell aligundua "Kitendawili cha mwongo ', kwa kuzingatia Cantor ya kuweka nadharia kwamba anasema kuwa nguvu ya kuweka yoyote ni ndogo kuliko seti ya subsets yake. Angalau katika uwanja lazima subsets wengi kama kuna mambo ndani yake, kama subset moja ya kila kipengele ni kuweka zenye tu kipengele hiki. Zaidi ya hayo, Cantor imeonekana kuwa idadi ya mambo hawezi kuwa sawa na idadi ya subsets. Kama kulikuwa na idadi sawa, itakuwa na kuwepo kipengele ƒ ambayo kuonyesha mambo ya subsets wao. Wakati huo huo inaweza kuwa imeonekana kuwa hii haiwezekani. Baadhi ya vitu yanaweza kuonyeshwa kwenye kazi ƒ subsets ambayo yana yao, wakati wengine wanaweza.

Fikiria subset ya mambo ambayo si mali na picha zao, ambayo wao kuonyesha ƒ. Ni yenyewe subset ya vipengele, na kwa hiyo, kazi ƒ bila kuonyesha ni juu ya kipengele katika miliki. Tatizo ni kwamba basi swali inatokana ya kama kipengele hiki ni mali ya subset ambayo ni maonyesho ƒ. Hii inawezekana tu kama si wake. Russell Paradoksia inaweza kuonekana kama mfano wa njia ileile ya kufikiri, tu rahisi. Ni nini zaidi - seti au subset ya seti? Inaonekana ya kwamba hivi seti zaidi, kama subset yote ya seti wenyewe. Lakini kama theorem Cantor ni kweli, basi kuna haja ya kuwa zaidi subsets. Russell kuonekana tu kuonyesha seti ya wenyewe na kutumiwa mbinu kantoriansky kuzingatia seti ya vipengele hivi vyote, nje ya seti ambao wao ni kuonyeshwa. Showing Russell inakuwa na seti ya seti ya yote, si.

makosa Frege

"Kitendawili cha mwongo" yalikuwa na athari kubwa katika maendeleo ya kihistoria ya nadharia ya seti. Alionyesha kwamba dhana ya kuweka zima ni yenye tatizo. Pia alihoji dhana kwamba kwa kila hali defined au predicate unaweza kudhani kuwepo kwa wingi wa tu mambo ambayo kukidhi hali hii. Chaguo PARADOX kuhusu mali - ugani kawaida seti version - kukulia mashaka makubwa ya kama inawezekana wanasema kuhusu kuwepo lengo la mali au kulingana zima kwa kila kuamua na hali, au kiarifu.

Mara utata na matatizo katika kazi ya logicians yalipatikana, wanafalsafa na wanahisabati ambao wamefanya mawazo kama hayo. Mwaka wa 1902, Russell iligundua kuwa lahaja ya PARADOX inaweza kuwa walionyesha katika mfumo mantiki, maendeleo katika Volume I wa "Misingi ya hesabu" Gottlob Frege, moja ya kazi kuu ya mantiki ya XIX marehemu - mapema XX karne. Katika falsafa ya Frege wengi kueleweka kama "ugani" au "thamani ya masafa" dhana. dhana ni karibu na wale wa Uwiano wa. Wanatarajia kuwepo kwa hali yoyote au kiarifu. Kwa hivyo, kuna dhana ya kuweka, ambayo haina kuanguka chini ya dhana yake kufafanua. Pia kuna daraja la inavyoelezwa na dhana hii, na ni chini ya kufafanua dhana yake tu kama siyo.

Russell alimwandikia Frege kuhusu mgogoro huu, mwezi Juni 1902. Mawasiliano alikuwa mmoja wa kusisimua zaidi na kuongea kuhusu historia ya mantiki. Frege mara moja alitambua matokeo mabaya ya kitendawili. Alibainisha, hata hivyo, kuwa toleo la utata kuhusu mali katika falsafa yake alikuwa kutatuliwa na kutofautisha kati ya dhana ya ngazi.

dhana Frege kueleweka kama mabadiliko kutoka hoja ya kazi kuwa KWELI. dhana cha kwanza kuchukua kama hoja vitu ya dhana cha pili kuchukua kama hoja na kazi hii, na kadhalika. Hivyo, dhana haziwezi yenyewe kama hoja, na PARADOX katika suala la mali haiwezi yaliyoandaliwa. Hata hivyo seti, upanuzi au dhana Frege kueleweka kama akimaanisha huo mantiki ya aina kama ile ya vitu vingine vyote. Kisha ya kila seti kuna swali kama iko chini ya dhana ya kufafanua yake.

Wakati Frege, Russell kupokea barua ya kwanza, kiasi ya pili ya "Misingi ya hesabu" tayari kumaliza magazeti. Alilazimishwa haraka kuandaa maombi ambayo inatoa jibu la fumbo ya Russell. Mifano Frege zilizomo idadi ya ufumbuzi iwezekanavyo. Lakini hitimisho kwa kudhoofisha dhana ya ujumla kuweka katika mfumo mantiki.

Katika asili, ina uwezo wa kuhitimisha kwamba kitu ni mali ya kuweka kama na kama tu iko ndani dhana, amefafanua yake. mfumo upya tu kuhitimisha kwamba kitu ni mali ya kuweka kama na kama tu iko ndani wazo la kufafanua wingi, lakini si kuweka husika. Russell Paradoksia ya kufanya hivyo.

ufumbuzi, hata hivyo, si kabisa kuridhika na Frege. Na hii ndiyo sababu. Miaka kadhaa baadaye, ngumu zaidi mfumo wa utata imekuwa kupatikana kwa mfumo upya. Lakini hata kabla ya hii ilitokea, Frege kutelekezwa maamuzi yake na kuonekana kuja na hitimisho kwamba mbinu yake ilikuwa tu kwamba hayafanyi kazi, na kwamba mantiki itakuwa na kufanya bila wa seti.

Wengine zimependekezwa, ufumbuzi mbadala kiasi zaidi ya mafanikio. Hizi ni kujadiliwa hapa chini.

nadharia ya aina

Imebainika hapo juu kuwa Frege mara jibu la kutosha kwa paradoksia ya nadharia ya kuweka katika toleo yaliyoandaliwa kwa ajili ya mali. majibu Frege yalitanguliwa na ufumbuzi zaidi ya mara kwa mara kujadili kwa aina hii ya kitendawili. Ni kutokana na ukweli kwamba mali ni chini ya aina tofauti na aina ya mali kamwe sawa na vitu ambayo inahusu.

Hivyo, hata swali linajitokeza, kama mali ni zinazotumika kwa yenyewe. lugha mantiki, ambayo hutenganisha vipengele vya hiyo uongozi, kwa kutumia nadharia ya aina. Pamoja na kwamba tayari kutumiwa na Frege, mara ya kwanza ni kikamilifu alielezea na substantiated Russell katika Kiambatisho cha "kanuni". nadharia ya aina na kamili zaidi ya tofauti ya viwango Frege. Yeye pamoja mali si tu ya aina mbalimbali ya mantiki, lakini pia kuweka. aina ya nadharia ya kutatua utata katika Kitendawili cha Russell ifuatavyo.

Ili kuwa na kifalsafa kutosha, kupitishwa kwa nadharia ya aina ya mali inahitaji maendeleo ya nadharia ya asili ya mali ili inaweza kueleza kwa nini hawawezi kutumika kwa wenyewe. Kwa mtazamo wa kwanza, ni mantiki ya prediketo mali yao wenyewe. mali ya kuwa binafsi utambulisho, inaweza kuonekana, pia ni binafsi utambulisho. mali inaonekana kuwa nzuri kufurahisha. Kwa njia hiyo, inaonekana, inaonekana uongo kusema kwamba mali ya kuwa paka ni paka.

Hata hivyo, wasomi mbalimbali haki ya mgawanyo wa aina tofauti. Russell hata alitoa maelezo mbalimbali kwa nyakati tofauti katika kazi yake. Kwa upande wake, sababu ya msingi ya mgawanyo wa dhana tofauti ya viwango Frege linatokana na nadharia yake ya dhana isokefu. Dhana kama kazi, kwa asili, ni pungufu. Kutoa thamani, wanahitaji hoja. Huwezi dhana moja tu prediketo dhana ya aina moja, kwa sababu bado inahitaji hoja yake. Kwa mfano, pamoja na kwamba kuna uwezekano wa kuchukua mizizi ya mraba ya mizizi ya mraba ya idadi, huwezi kutumia tu mraba mizizi kazi ili mzizi kazi za mraba na kupata matokeo.

Kuhusu mali conservatism

ufumbuzi nyingine yaweza PARADOX mali kukataa mali kuwepo katika hali yoyote, au predicate vizuri sumu. Bila shaka, kama mtu eschews mali kimetafizikia wa mambo yote lengo na kujitegemea kwa ujumla, kama sisi kuchukua nominalism PARADOX inaweza kuepukwa kabisa.

Hata hivyo, kutatua antinomy haja kuwa hivyo uliokithiri. Logic ili juu ya mifumo ya maendeleo Frege na Russell, vyenye kile kinachoitwa kanuni dhana, kulingana na ambayo kila wazi fomula bila kujali ni tata lipo kama sehemu ya mali au dhana kwa mfano, wale tu vitu wanaofanana formula. Wao kutumika kwa sifa za kila seti uwezekano wa masharti au predicates, bila kujali magumu hao.

Hata hivyo, ina uwezo wa kuchukua zaidi ya ukali metafizikia mali, kutoa haki ya kuwepo lengo la mali rahisi, ikiwa ni pamoja na, kwa mfano, kama vile rangi nyekundu, uimara, wema na kadhalika. D. Unaweza hata basi mali hizo zinazotumika kwa wenyewe, kama vile wema Unaweza kuwa aina.

Na hali hiyo kwa sifa tata inaweza kukataliwa, kwa mfano, kama "mali" kama kuwa kumi na saba-vichwa, kuwa iliyoandikwa chini ya maji na kadhalika. D. Katika hali hii, hakuna predetermined hali haifikii mali, kueleweka kama tofauti kipengele, ambayo ina tabia yake mwenyewe zilizopo. Hivyo mtu anaweza kukataa kuwepo kwa mali rahisi kuwa-mali-kwamba-si kutumika hadi binafsi na kuepuka PARADOX kwa kutumia zaidi kihafidhina kimetafizikia mali.

Russell Kitendawili: ufumbuzi

Zaidi ya ilibainika kuwa mwisho wa maisha yake Frege kabisa kutelekezwa mantiki ya seti. Hii, bila shaka, moja ufumbuzi kwa antinomy katika mfumo wa seti: rahisi kukataa kuwepo kwa vitu kama kwa ujumla. Aidha, kuna uchaguzi mwingine maarufu, mambo ya msingi ambayo ni hapa chini.

nadharia ya aina nyingi za

Kama ilivyoelezwa hapo awali, Russell alicheza kwa nadharia kamili zaidi wa aina, ambao kushiriki mali si tu au dhana na aina mbalimbali, lakini pia kuweka. Russell ya pamoja kuweka katika wingi wa vipande tofauti, wingi wa seti ya vitu tofauti, nk seti ya vitu walikuwa kuchukuliwa, na wingi wa seti - .. Sets. mengi ya kamwe walifurahia aina, inakuwezesha kuwa mjumbe wa yenyewe. Kwa hiyo hakuna seti ya seti yote si wanachama wa wake, kwa sababu kwa kuweka yoyote ya maswali kuhusu kama ni kama mwanachama, ni yenyewe aina ukiukaji. Kwa mara nyingine, suala hapa ni kuelezea seti metafizikia kueleza misingi ya falsafa ya mgawanyiko katika aina.

Utabakishaji

Mwaka 1937, V. V. Kuayn amejitolea ufumbuzi mbadala, kwa njia sawa na nadharia ya aina. taarifa za msingi kuhusu hilo ulipo.

Kutenganisha seti kipengele na wengine. Alifanya hivyo kwamba dhana ya kupata wingi siku zote si sahihi au maana. Sets inaweza tu zinazotolewa wakati kufafanua hali zao ni si aina ukiukaji. Hivyo, kwa Quine, maneno "x si mwanachama wa x" ni kauli ya maana haimaanishi kuwepo kwa seti ya mambo yote x kuridhisha hali hii.

Katika mfumo huu kuweka lipo kwa baadhi ya wazi formula A ikiwa na tu kama ni stratified, t. E. Kama vigezo ni kupewa nambari halisi kiasi kwamba kwa kila tukio tabia ya wingi wa kabla yake kutofautiana ni kwa ajili ya zoezi kitengo ndogo kuliko kutofautiana, zifuatazo baada yake. Hatua hii huzuia Russell Paradoksia, kwa vile utaratibu kutumiwa kuamua kuweka tatizo, kuna moja kabla na baada ya kutofautiana uanachama ishara na kuifanya unstratified.

Lakini bado kuamua kama mfumo kusababisha, ambayo Quine inayoitwa "New Misingi ya mantiki hisabati" thabiti.

kukataliwa

njia tofauti kabisa ni kuchukuliwa katika nadharia ya Zermelo - Fraenkel (ZF). Hapa, pia, kuweka kikomo juu ya kuwepo kwa seti. Badala yake, mbinu "top-down" ya Russell na Frege, ambaye awali walidhani kwamba kwa dhana zote, mali, au hali inaweza kupendekeza kuwepo kwa seti ya vitu vyote na mali hii au kukutana hali kama hiyo, katika ZF-nadharia, kila kitu kuanza "kutoka chini kwenda juu."

Mambo ya mtu binafsi ya seti tupu na kuunda seti. Kwa hiyo, tofauti na mifumo ya mapema na Russell Frege FIT siyo ya kuweka zima ambayo ni pamoja na mambo yote na hata seti zote. ZF seti mipaka ya kuwepo kwa seti. Inaweza kuwepo wale tu ambao ni wazi ilidai au ambayo inaweza kuwa yaliyoandaliwa na mbinu za michakato iterative na kadhalika. D.

Kisha, badala ya dhana ujumla wasiojua kuweka ambayo inasema kwamba kipengele fulani ni pamoja na katika seti kama na kama tu hukutana masharti katika mgawanyo kanuni kutumika DF, kutengana au "kuchambua". Badala ya kuchukua kuwepo kwa seti ya mambo yote ambayo ni ya bila ubaguzi kukidhi hali fulani, kwa kila seti zilizopo Aussonderung inaonyesha kuwepo kwa subset ya sehemu zote katika seti ya awali ambayo satisfies hali hiyo.

Hapo ndipo kanuni ujumla: kama kuweka A lipo, basi, kwa x wote katika A, x ni ya subset A, ambayo satisfies hali kama na kama tu x satisfies hali C. Njia hii hupona PARADOX Russell, kwa kuwa hatuwezi tu kudhani yaani, seti ya seti yote si wanachama wa wenyewe.

Baada ya mengi ya seti, unaweza kuchagua au kuigawanya katika seti, ambayo ni ndani yao wenyewe, na wale ambao si kama hayo, lakini kwa kuwa hakuna aina zima hatufungwi seti ya seti zote. Bila kuchukua tatizo seti Russell utata haiwezi kuthibitika.

ufumbuzi nyingine

Aidha, kumekuwa na upanuzi baadae au marekebisho ya ufumbuzi hizi, kama vile uma-aina ya nadharia ya "Kanuni za Hisabati" mfumo upanuzi "hisabati mantiki" Quine, pamoja na maendeleo ya hivi karibuni katika nadharia ya seti, alifanya Bernays, Godel na von Neumann. swali la kama kukabiliana na PARADOX hakuna Bertrand Russell kupatikana, bado ni suala la mjadala.