Namba halisi na mali zao

Pythagoras alidai kuwa idadi ni msingi wa dunia sambamba na mambo makubwa. Plato aliamini kuwa idadi ya viungo uzushi na Noumenon, na kusaidia kujua, kupimwa na hitimisho. Hesabu linatokana na neno "arifmos" - idadi, hatua ya mwanzo katika hisabati. Inawezekana kueleza kitu chochote - kutoka msingi kwa apple nafasi abstract.

Mahitaji kama sababu ya maendeleo

Katika hatua za awali za maendeleo ya jamii na mahitaji ya watu unakabiliwa na haja ya kuweka alama - .. mfuko mmoja wa nafaka, wawili nafaka mfuko, nk Ili kufanya hivyo, ilikuwa namba za asili, seti ya ambayo ni mlolongo usio wa chanya integer N.

Baadaye, maendeleo ya hisabati kama sayansi, ilikuwa muhimu katika uwanja maalum kati ya nambari Z - ni pamoja na maadili hasi na sifuri. Mechi yake katika ngazi ya ndani, ilikuwa hasira na ukweli kwamba uhasibu awali alikuwa na namna fulani kurekebisha madeni na hasara. Katika ngazi ya kisayansi, idadi hasi kuwa alifanya hivyo inawezekana kutatua rahisi linear equations. Miongoni mwa mambo mengine, ni sasa inawezekana picha madogo kuratibu mfumo, yaani. A. Kulikuwa hatua ya rejea.

Hatua ya pili ilikuwa haja ya kuingiza namba za sehemu, kwa kuwa sayansi haina kusimama bado, zaidi na zaidi uvumbuzi mpya alidai msingi wa nadharia ya ukuaji wa mwezi kwa programu. Hivyo kulikuwa na shamba la nambari wiano Q.

Hatimaye, tena kukidhi mahitaji ya rationality, kwa sababu matokeo yote mpya zinahitaji haki. Kulikuwa na uwanja wa idadi halisi R, kazi za incommensurability Euclid wa kiasi fulani kwa sababu ya irrationality yao. Hiyo ni, kale mwanahisabati Kigiriki nafasi ya simu si tu kama mara kwa mara, lakini kama thamani dhahania ambayo ni sifa ya uwiano wa magnitudes hauwezi kulinganishwa. Kutokana na ukweli kwamba kuna nambari halisi, "tuliona mwanga" maadili kama vile "pi" na "e", bila ambayo hisabati kisasa hakuweza yamefanyika.

uvumbuzi mwisho ilikuwa ngumu idadi C. Ni akajibu mfululizo wa maswali na alikanusha postulates awali aliingia. Kutokana na maendeleo ya haraka ya algebra matokeo ilikuwa kutabirika - na idadi halisi, uamuzi wa matatizo mengi haikuwezekana. Kwa mfano, kutokana na idadi tata alisimama nje kamba nadharia na machafuko wigo milinganyo ya hydrodynamics.

Kuweka Theory. Cantor

dhana ya infinity daima utata unaosababishwa, kama ilikuwa vigumu kuthibitisha au kukanusha. Katika mazingira ya hisabati, ambayo inaendeshwa postulates madhubuti kuthibitishwa, ni umejitokeza wenyewe wengi ni wazi, zaidi kwamba kipengele kiteolojia bado vunja katika sayansi.

Hata hivyo, kupitia kazi ya mwanahisabati Georg Cantor wakati wote akaanguka katika nafasi. Alithibitisha kwamba seti usio kuna usio seti, na kwamba uwanja R ni zaidi ya shamba N, basi wote wawili na na mwisho. Katikati ya karne ya XIX, mawazo yake hadharani kuitwa upuuzi na uhalifu dhidi ya canons classical hayabadiliki, lakini wakati kuweka kila kitu katika nafasi yake.

mali ya msingi ya uwanja R

idadi halisi si tu kuwa na mali sawa na podmozhestva kwamba pamoja na, lakini kuongezea masshabnosti nyingine kwa mujibu wa mambo yake:

• Zero R. ipo na ni mali ya uwanja c + = c 0 kwa c yoyote ya R.
• Zero ipo na ni mali ya uwanja R. c x 0 = 0 kwa c yoyote ya R.
• uwiano c: d wakati d ≠ 0 ipo na ni halali kwa c yoyote, d ya R.
• Uwanja R awali, yaani kama c ≤ d, d ≤ c, kisha c = d kwa c yoyote, d ya R.
• Aidha katika uwanja R ni unaofanyika, yaani c + d = d + c, kwa c yoyote, d ya R.
• Kuzidisha katika uwanja R ni unaofanyika, yaani x c x d = d c kwa wote c, d ya R.
• Aidha katika uwanja R ni associative yaani (c + d) + f = c + (d + f) kwa ajili ya c yoyote, d, f ya R.
• Kuzidisha katika uwanja R ni associative yaani (c x d) x f = c x (d x f) kwa ajili ya c yoyote, d, f ya R.
• Kwa kila idadi ya uwanja R kinyume na pale, kama kwamba c + (-c) = 0, ambapo c, -c kutoka R.
• Kwa kila idadi ya uwanja R ipo kinyume yake, kama kwamba c x c ^-1 = 1 ambapo c, c ^-1 ya R.
• Unit ipo na ni mali ya R, ili c x 1 = c, kwa c yoyote ya R.
• Ina usambazaji sheria nguvu, ili c x (d + f) = c x d + c x f, kwa c yoyote, d, f ya R.
• uwanja R ni sifuri si sawa na umoja.
• Uwanja R ni elekezi: kama c ≤ d, d ≤ f, basi c ≤ f kwa c yoyote, d, f ya R.
• Katika R na kuongeza ili yanahusiana: kama c ≤ d, basi c + f ≤ d + f kwa c yote, d, f ya R.
• Kwa utaratibu wa R na kuzidisha uhusiano: kama 0 ≤ c, 0 ≤ d, kisha 0 ≤ c x d kwa c yoyote, d ya R.
• Kama hasi na chanya idadi halisi ni endelevu, yaani, kwa c yoyote, d ya R f, kuna kutoka R, kwamba c ≤ f ≤ d.

uwanja Module R

idadi halisi ni pamoja na kitu kama moduli. Mteule kama | f | kwa f yoyote katika R. | f | = F, ikiwa 0 ≤ f na | f | = F, kama 0> f. Kama tunaona Moduli kama thamani geometric, ni umbali - haijalishi, "kupita" wewe kama sifuri katika hasi kwa chanya au mbele.

Magumu na ya kweli idadi. ni kufanana na tofauti gani?

By na namba kubwa, magumu na ya kweli - ni moja na sawa, isipokuwa kwamba kwanza alijiunga imaginary kitengo i, mraba ambayo ni sawa na -1. Elements mashamba R and C inaweza kuwakilishwa na formula zifuatazo:

• c = d + f x i, ambapo d, f ni mali ya uwanja R, na mimi - kitengo imaginary.

Kupata c R f katika kesi hii tu kudhani kuwa sifuri, yaani, kuna sehemu tu ya mali ya idadi. Kwa sababu uwanja wa idadi tata ina kipengele hicho kuweka kama uwanja wa halisi, f x i = 0 kama f = 0.

Kwa upande tofauti vitendo, kwa mfano katika uwanja wa R quadratic equation haliwezi kutatuliwa ikiwa discriminant ni hasi, wakati C sanduku haina kuweka kiwango cha juu hii kwa kuanzisha kitengo imaginary i.

matokeo

"Matofali" ya imani za na inadai ambayo hisabati msingi, wala mabadiliko. On baadhi yao kutokana na kuongezeka wa habari na kuanzishwa kwa nadharia mpya kuwekwa kufuatia "matofali", ambayo katika siku zijazo inaweza kuwa msingi wa hatua inayofuata. Kwa mfano, idadi ya asili, licha ya ukweli kwamba wao ni subset ya shamba R halisi, haina kupoteza umuhimu wake. Ni kwao msingi wa kila hesabu ya msingi, ambayo huanza na elimu ya mtu wa amani.

Kutokana na hatua ya vitendo ya maoni, idadi halisi kuonekana kama line moja kwa moja. Inawezekana kuchagua mwelekeo, kutambua asili na uwanja. Moja kwa moja lina idadi usio wa pointi, ambapo kila sambamba na idadi ya moja ya mali, bila kujali kama au si sahihi. Kutokana na maelezo ya ni wazi kwamba sisi ni kuzungumza juu ya dhana, ambayo inatokana hisabati kwa ujumla, na uchambuzi hisabati hasa.